- Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan fungsi trigonometri lainnya. Turunan fungsi trigonometri adalah proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri atau pun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Misal turunan fx ditulis f’a yang artinya tingkat perbahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x,tan x. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit. Baca JugaAnaknya Dihina Henny Rahman, Ibu Larissa Chou Beri Sindiran Pedas Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri f x = sin x → f x = cos x f x = cos x → f x = −sin x f x = tan x → f x = sec2 x Baca JugaLarissa Chou dan Henny Rahman Berseteru Di Atas Langit Masih Ada Langit f x = cot x → f x = −csc2x f x = sec x → f x = sec x . tan x f x = csc x → f x = −csc x . cot x. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut A. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi f x = sin u → f x = cos u . u’ f x = cos u → f x = −sin u . u’ f x = tan u → f x = sec2u . u’ f x = cot u → f x = −csc2 u . u’ f x = sec u → f x = sec u tan u . u’ f x = csc u → f x = −csc u cot u . u’. B. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Misalkan variabel sudut trigonometrinya ax+b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0, maka turunan fungsi trigonometrinya yaitu,f x = sin ax + b → f x = a cos ax + b f x = cos ax + b → f x = -a sin ax + b f x = tan ax + b → f x = a sec2 ax +b f x = cot ax + b → f x = -a csc2 ax+b f x = sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + b f x = csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + b. Contoh Soal Turunan Trigonometri Soal 1 Tentukan turunan y = cos x2 Jawab Misal u = x2 ⇒ u’ = 2x y’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2 Soal 2 Tentukan turunan y = sin 4x ! Jawab Misal u = 4x ⇒ u’ = 4 y’ = cos u . u’ y’ = cos 4x . 4 y’ = 4cos 4x Demikianlah penjelasan tentang turunan fungsi trigonometri, semoga bermanfaat. Kontributor Titi Sabanada
Mulamula, kita tulis ulang fungsi ini kedalam fungsi dasar trigonometri. Misalkan u = sin θ dan v = cos θ, sehingga u ' = cos θ dan v ' = -sin θ. Jadi, turunan dari fungsi f ( θ) = tan θ adalah f ' ( θ) = sec 2 θ. Turunan fungsi f ( θ) = cot θ ditentukan dengan cara yang sama dengan penentuan turunan fungsi tangen.Oleh Agung Izzulhaq — 22 Juni 2019Kategori Kalkulus Masih membahas turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan $\cos x$ dan $\sec x$.$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -\sin x \\D_x \left \sec x \right &= \sec x \tan x\end{aligned}$$Bukti Turunan $\cos x$Kita mulai dengan definisi turunan$$D_x \left \cos x \right = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\cos x+h - \cos x}{h}$$Dengan menggunakan rumus jumlah sudut cosinus, diperolehLimit yang diinginkan adalah untuk $h$ menuju 0. Karena $\sin x$ dan $\cos x$ tidak memuat variabel $h$, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperolehDiketahui bahwa $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1$ dan $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 - \cos h}{h}=0$, sehingga$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -\sin x \cdot 1 - \cos x \cdot 0 \\&= -\sin x\end{aligned}$$Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut$$D_x \left \cos x \right = D_x \sin \frac{\pi}{2} - x$$Kita tahu bahwa $D_x \sin x = \cos x$ Bukti. Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -1 \cdot \cos \frac{\pi}{2} - x \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x + \sin \frac{\pi}{2} \sin x \\&= -\cos \frac{\pi}{2} \cos x - \sin \frac{\pi}{2} \sin x\end{aligned}$$Diketahui $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ dan $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.$$\begin{aligned}D_x \left \cos x \right &= -1 \cdot 0 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x \\&= -\sin x\end{aligned}$$Bukti Turunan $\sec x$Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperolehSelain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.$$\begin{aligned}D_x \left \sec x \right &= D_x \left \frac{1}{\cos x} \right \\&= \frac{0 \cdot \cos x - - \sin x \cdot 1}{\left \cos x \right ^{2}} \\&= \frac{\sin x}{\left \cos x \right ^{2}} \\&= \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \\&= \sec x \cdot \tan x\end{aligned}$$Terbukti. Setiapfungsi trigonometri yang dimulai dengan huruf c, maka turunannya akan bernilai negatif. Perluasan Rumus Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u' adalah turunan u terhadap x, maka : 1. f (x) = sin u → f ' (x) = cos u . u' 2. f (x) = cos u → f ' (x) = −sin u . u' 3. f (x) = tan u → f ' (x) = sec 2 u . u' Definisi turunan, notasi delta, dan aturan turunan fungsi aljabar dasar telah dipelajari sebelumnya. Selain aljabar, fungsi trigonometri juga dapat diturunkan dengan menggunakan prinsip yang sama seperti kita menerapkan definisi turunan, yakni menggunakan limit. Selain itu, beberapa identitas dasar trigonometri juga dipakai saat proses pembuktian turunannya. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan Dasar Sebagaimana yang telah kita ketahui, fungsi trigonometri ada $6$, yaitu sinus, kosinus, tangen, kosekan, sekan, dan kotangen. Hanya sinus dan kosinus yang turunannya dicari menggunakan proses notasi delta dan definisi turunan. Fungsi lainnya dicari turunannya menggunakan aturan hasil bagi turunan. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Kali ini, akan dibuktikan turunan pertama dari setiap fungsi trigonometri tersebut. Quote by Nadiem Makarim Mulai aja dulu. Kalau kamu tidak mulai, maka kamu tidak akan berada di sana. Turunan Fungsi Sinus Fungsi sinus memiliki bentuk $fx = \sin x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh $\begin{aligned} y & = \sin x \\ y + \Delta y & = \sin x+h \\ \Delta y & = \sin x+h-\sin x \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus $$\boxed{\sin A-\sin B = 2 \cos \left\dfrac{A+B}{2}\right \sin \left\dfrac{A-B}{2}\right}$$Dari sini, kita mendapatkan $\Delta y = 2 \cos \dfrac122x+h \sin \dfrac12h.$ Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh $\dfrac{\Delta y}{h} = \cos \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}.$ Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit. $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left\cos \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \left\lim_{h \to 0} \cos \dfrac122x+h\right \cdot \left\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \cos \dfrac122x+0 \cdot 1 \\ & = \cos x \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx = \sin x$ adalah $f'x = \cos x$. Baca Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar Turunan Fungsi kosinus Fungsi kosinus memiliki bentuk $fx = \cos x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh $\begin{aligned} y & = \cos x \\ y + \Delta y & = \cos x+h \\ \Delta y & = \cos x+h-\cos x \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus $$\boxed{\cos A-\cos B = -2 \sin \left\dfrac{A+B}{2}\right \sin \left\dfrac{A-B}{2}\right}$$Dari sini, kita mendapatkan $\Delta y = -2 \sin \dfrac122x+h \sin \dfrac12h.$ Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh $\dfrac{\Delta y}{h} = -\sin \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}.$ Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit. $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left- \sin \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \left\displaystyle \lim_{h \to 0} -\sin\dfrac122x+h\right \cdot \left\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = -\sin \dfrac122x+0 \cdot 1 \\ & = -\sin x \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx = \cos x$ adalah $f'x = -\sin x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Turunan Fungsi Tangen Fungsi tangen memiliki bentuk $fx = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = \sin x \Rightarrow u’ = \cos x$ $v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{\cos x \cos x-\sin x-\sin x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 x} \\ & = \left\dfrac{1}{\cos x}\right^2 \\ & = \sec^2 x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \tan x$ adalah $f'x = \sec^2 x.$ Baca Juga Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri Turunan Fungsi Kosekan Fungsi kosekan memiliki bentuk $fx = \csc x = \dfrac{1}{\sin x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = 1 \Rightarrow u’ = 0$ $v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0\sin x-1\cos x}{\sin^2 x} \\ & = -\dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \dfrac{1}{\sin x} \\ & = -\cot x \cdot \csc x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \csc x$ adalah $f'x = -\cot x \csc x$. Turunan Fungsi Sekan Fungsi sekan memiliki bentuk $fx = \sec x = \dfrac{1}{\cos x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = 1 \Rightarrow u’ = 0$ $v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0\cos x-1-\sin x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} \\ & = \tan x \sec x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \sec x$ adalah $f'x = \tan x \sec x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan kosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri Turunan Fungsi Kotangen Fungsi kotangen memiliki bentuk $fx = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = \cos x \Rightarrow u’ = -\sin x$ $v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{-\sin x \sin x-\cos x\cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-\sin^2 -\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = -\left\dfrac{1}{\sin x}\right^2 \\ & = -\csc^2 x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \cot x$ adalah $f'x = -\csc^2 x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri Sekarang, dapat kita simpulkan hasil dari turunan pertama setiap fungsi trigonometri dalam panel berikut. Turunan Fungsi Trigonometri Misalkan $fx$ menyatakan suatu fungsi dan $f'x$ menyatakan turunan pertamanya. $$\begin{aligned} & 1.~\text{Jika}~fx = \sin x,~\text{maka}~f'x = \cos x \\ & 2.~\text{Jika}~fx = \cos x,~\text{maka}~f'x = -\sin x \\ & 3.~\text{Jika}~fx = \tan x,~\text{maka}~f'x = \sec^2 x \\ & 4.~\text{Jika}~fx = \csc x,~\text{maka}~f'x = -\cot x \csc x \\ & 5.~\text{Jika}~fx = \sec x,~\text{maka}~f'x = \tan x \sec x \\ & 6.~\text{Jika}~fx = \cot x,~\text{maka}~f'x = -\csc^2 x \end{aligned}$$ Keenam poin tentang turunan pertama fungsi trigonometri di atas terpakai untuk menentukan turunan fungsi trigonometri yang lebih rumit biasanya melibatkan aturan rantai dan penelusuran akan lebih jauh bila Anda memasuki zona kalkulus, salah satu cabang matematika yang khusus mempelajari perubahan suatu fungsi. Tips Umumnya hanya turunan fungsi sinus, kosinus, dan tangen yang banyak dikeluarkan dalam soal-soal latihan untuk tingkat SMA. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Fungsifungsi f(x) = sin x dan g(x) = tan x, keduanya memiliki turunan yang bisa dideferensialkan yakni turunan sin x merupakan f'(x) = cos x dan turunan cos x yaitu g'(x) = sec 2 x. Hal ini bisa dibuktikan dengan mudah yaitu dengan menggunakan rumus f'(x) = limh→0fx+h-f(x)h, sehingga bisa ditentukan rumus turunan fungsi trigonometri. Blog Koma - Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan materi turunan khususnya materi turunan fungsi trigonometri. Sebelumnya juga sudah kita bahas materi "definisi turunan secara umum" dan "turunan fungsi aljabar". Untuk turunan fungsi trigonometri ini, kita akan langsung menggunakan rumus dasar turunan fungsi trigonometri. Sementara untuk pembuktiannya, tetap menggunakan definisi turunan secara umum. Dan juga kita harus mengingat kembali rumus trigonometri pada materi trigonometri sebelumnya. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri i. $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ ii. $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ iii. $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ iv. $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ v. $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $ vi. $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $ Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ . Contoh 1. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \sin x . \cos x $ b. $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ c. $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Penyelesaian a. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x . \cos x $ Misalkan $ U = \sin x \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $ *. Rumus dasar $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x . \cos x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \cos x + \sin x . -\sin x \\ & = \cos ^2 x - \sin ^2 x \\ & = \cos 2x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x . \cos x \rightarrow y^\prime = \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $ b. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ Misalkan $ U = \sin x + 1 \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \tan x - \sec x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x - \sec x . \tan x = \sec x \sec x - \tan x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x + 1 \tan x - \sec x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x , \, $ turunannya adalah $ y^\prime = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x $ c. Turunan pembagian fungsi , $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Misalkan $ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x $ dan $ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x - \sin x $ *. Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri, *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . \sin x + \cos x - 1 + \cot x. \cos x - \sin x }{\sin x + \cos x ^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Jadi, diperoleh $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} \, , $ turunannya adalah $ \begin{align} y^\prime = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri yang lebih kompleks Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks i. $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx $ ii. $ y = \cos gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .\sin gx $ iii. $ y = \tan gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . \csc gx . \cot gx $ Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya i. $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ ii. $ y = \cos ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx $ iii. $ y = \tan ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n \tan ^{n - 1 } gx . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. n. \cot ^{n -1} gx . \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n. \sec ^{n -1 } gx . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx $ Catatan bentuk $ \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi". Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya $n$, maka langsung gunakan "SuTri" saja. Contoh 2. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut. a. $ y = \sin 3x^2 + 2x - 5 $ b. $ y = \cot x^2 - x + 7 $ c. $ y = \sec 5x^3 + 9 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 3x^2 + 2x - 5 \rightarrow g^\prime x = 6x + 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sin 3x^2 + 2x - 5 \\ y & = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx \\ y^\prime & = 6x + 2 . \cos 3x^2 + 2x - 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 6x + 2 \cos 3x^2 + 2x - 5 $ b. misalkan $ gx = x^2 - x + 7 \rightarrow g^\prime x = 2x-1 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cot x^2 - x + 7 \\ y & = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx \\ y^\prime & = -2x-1 . \csc ^2 x^2 - x + 7 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -2x-1 \csc ^2 x^2 - x + 7 $ c. misalkan $ gx = 5x^3 + 9 \rightarrow g^\prime x = 15x^2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sec 5x^3 + 9 \\ y & = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx \\ y^\prime & = 15x^2 . \sec 5x^3 + 9 . \tan 5x^3 + 9 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 15x^2 \sec 5x^3 + 9 \tan 5x^3 + 9 $ 3. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 $ b. $ y = \csc ^ 5 x^4 + 5 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 2x^3 - 5x + 2 \rightarrow g^\prime x = 6x - 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 \\ y & = \cos ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-5 . 3 . \cos ^{3 -1 } 2x^3 - 5x + 2 . \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 $ Hasil akhirnya bisa diubah kebentuk lain dengan menggunakan rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu $ \sin 2 gx = 2 \sin gx \cos gx \, $ atau $ \sin gx \cos gx = \frac{1}{2} \sin 2 gx \, $ . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang menggunakan sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tidak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sehingga jawaban kita ada pada pilihan. *. Kita modifikasi , $ \begin{align} y^\prime & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 22x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 4x^3 - 10x + 4 ] \\ & = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 . \sin 4x^3 - 10x + 4 \end{align} $ Sehingga bentuk lain dari turunannya adalah $ y^\prime = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 4x^3 - 10x + 4 $ b. misalkan $ gx = x^4 + 5 \rightarrow g^\prime x = 4x^3 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \csc ^ 5 x^4 + 5 \\ y & = \csc ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx \\ y^\prime & = -x^4+5 . 5.\csc ^{5 -1} x^4 + 5 . \csc x^4 + 5 . \cot x^4 + 5 \\ & = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 $ 4. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} $ misalkan $ gx = x^2 + 5x - 1 \rightarrow g^\prime x = 2x + 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} \\ y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^{n } \\ y^\prime & = g^\prime x . n . [\sin gx ]^{n-1} . \cos gx \\ y^\prime & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{-\frac{1}{2}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1}} $ 5. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} $ misalkan $ gx = 3x^2 - 2x \rightarrow g^\prime x = 6x - 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} \\ y & = \cos ^{n } gx = [\cos gx ]^{n } \\ y^\prime & = -g^\prime x . n . [\cos gx ]^{n-1} . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-2 . \frac{5}{2} . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{5}{2}-1} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -3x-1 . 5 . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{3}{2}} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x $ Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu $ f^\prime x = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{fx+ h - fx}{h} \, \, $ jika limitnya ada. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ *. Ingat bentuk $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \sin x + h = \sin x \cos h + \cos x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \sin x - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. 0 + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ *. Ingat bentuk $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \cos x + h = \cos x \cos h - \sin x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \cos x - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. 0 - \sin x \\ & = 0 - \sin x \\ & = -\sin x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \tan x $ $ fx+h = \tan x+h = \frac{\sin x+h}{\cos x+h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \, \, \, \, \, \text{identitas} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 1 \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x 1 - \sin x .0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ & = \sec x . \sec x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \cot x $ $ fx+h = \cot x+h = \frac{\cos x+h}{\sin x+h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x + \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - 1 \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = 1. \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x .1 + \cos x .0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x } \\ & = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ & = - \csc x . \csc x \\ & = - \csc ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \sec x $ $ fx+h = \sec x+h = \frac{1}{\cos x+h} = \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \sec x = \frac{1}{\cos x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{1}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x 1 - \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin \frac{1}{2} .0 . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x . 1 - \sin x . 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ & = \sec x \tan x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc x A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \csc x $ $ fx+h = \csc x+h = \frac{1}{\sin x+h} = \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \csc x = \frac{1}{\sin x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{1}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 1 - \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \frac{ \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \cos x \frac{ \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 }\frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} . 0 . \frac{1}{2} - \cos x . 1 }{ \sin x \sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x . 1 + \cos x . 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2 . 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x + 0 } \\ & = \frac{ 0 - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = \frac{ - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = - \frac{ 1 }{ \sin x } . \frac{ \cos x }{ \sin x } \\ & = - \csc x \cot x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ Catatan nilai $ \sin 0 = 0 \, $ dan $ \, \cos 0 = 1 $ Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita menggunakan aturan rantai turunan fungsi. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ *. Permisalan $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ y = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dy}{dz} = \cos z $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin gx \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = \cos z . g^\prime x \\ & = g^\prime x \cos z \\ & = g^\prime x \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ *. Permisalan $ y = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ p = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dp}{dz} = \cos z = \cos gx $ $ y = [\sin gx ]^n = [ p ]^n \rightarrow \frac{dy}{dp} = n . p ^ {n-1} = n . [ \sin gx ]^{n-1} = n. \sin ^{n-1} gx $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dp} . \frac{dp}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx . g^\prime x \\ & = g^\prime x . n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ Catatan untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan aturan rantai di atas. YfW8.
turunan fungsi trigonometri sec x
